Peter Ale & Martine van Schaik - Rekenen en wiskunde uitgelegd

) REKENEN + WISKUNDE UITGELEGD PETER ALE MARTINE VAN SCHAIK KENNISBASIS VOOR LEERKRACHTEN BASISONDERWIJS 800 OEFENOPGAVEN MET UITWERKINGEN COUTINHO.NL/RWU3 ↑

Rekenen en wiskunde uitgelegd

www.coutinho.nl/rwu3 Met de code in dit boek heb je toegang tot je online studiemateriaal. Dit ma teriaal bestaat uit aanvullende teksten, interactieve oefeningen en uitwerkin gen van de opdrachten uit het boek. Om je studiemateriaal te activeren heb je onderstaande code nodig. Ga naar www.coutinho.nl/rwu3 en volg de instructies.

Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs

Peter Ale Martine van Schaik

Derde, herziene druk

c u i t g e v e r ij

c o u t i n h o

bussum 2018

© 2011/2018 Uitgeverij Coutinho bv Alle rechten voorbehouden.

Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevens bestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaan de schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprografische verveelvoudigingen uit deze uitgave is toe gestaan op grond van artikel 16h Auteurswet 1912 dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 3051, 2130 KB Hoofddorp, www.reprorecht.nl). Voor het overnemen van (een) gedeelte(n) uit deze uit gave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie, Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.stichting-pro.nl).

Eerste druk 2011 Derde, herziene druk 2018

Uitgeverij Coutinho Postbus 333 1400 AH Bussum info@coutinho.nl www.coutinho.nl

Omslag: Garlic, Amsterdam

Noot van de uitgever Wij hebben alle moeite gedaan om rechthebbenden van copyright te achterhalen. Perso nen of instanties die aanspraak maken op bepaalde rechten, wordt vriendelijk verzocht contact op te nemen met de uitgever.

ISBN 978 90 469 0625 5 NUR 123

Voorwoord

In de afgelopen jaren is het vak rekenen en wiskunde op de pabo steeds meer een onderwerp van gesprek geworden. Vooronderstellingen over het niveau, misverstanden over de naamgeving (kinderen leren toch geen wiskunde?) en terechte ongerustheid domineren het gesprek. Een van de veelgehoorde uitspraken is dat leerkrachten niet meer kunnen rekenen. Met dit boek kan oude kennis van de leerkracht worden opgefrist of kan de pabostudent ken nismaken en oefenen met alles wat hij moet weten en kunnen om een goede (reken)leerkracht te worden. Alles wat een leerkracht basisonderwijs moet weten om goed rekenonderwijs te verzorgen wordt in dit boek op een rijtje gezet. We stoppen niet bij niveau 1S, maar zijn ervan overtuigd dat een leerkracht eerder het niveau 3S zou moeten hebben. Dit is ook het niveau dat wordt getoetst door de landelij ke Kennistoets Rekenen-Wiskunde. Dan pas ben je in staat om opgaven op meerdere manieren en meerdere niveaus uit te rekenen, zodat je alle denk wijzen van leerlingen kunt begrijpen en ook goede vragen kunt stellen om de leerlingen op het juiste spoor te helpen. De domeinen uit de kerndoelen basisonderwijs vormen de richtlijn voor de inhoud. De beschrijving van de herziene kennisbasis rekenen is als richtsnoer gehanteerd. De relatie met didactiek is op verschillende manieren aanwezig: in tips worden toepassingen voor de praktijk gegeven, in de didactische aan pak van dit boek wordt consequent de opbouw context, model en formele aanpak gebruikt. Ten slotte worden in de opgaven enkele voorbeelden van uitwerkingen van leerlingen gebruikt om de koppeling tussen theorie en praktijk te oefenen. Met dit boek wordt een volledige dekking gegeven van de reken-wiskundige en didactische inhoud van de kennisbasis inclusief de herijking van 2018. Na elk hoofdstuk volgen 50 opgaven op verschillende niveaus (basisvaardighe den, repertoire en landelijke kennisbasis). Dit boek bevat dus 250 opgaven. Op de website www.coutinho.nl/rwu3 ( ) staan de uitwerkingen van de opgaven uit dit boek. Bovendien staan hier meer dan 400 extra oefenopga ven op alle drie de niveaus en een overzicht van te bestuderen onderwerpen voor de landelijke Kennistoets Rekenen-Wiskunde. Daarnaast bevat de site aanvullende wiskundestof, die geschikt is voor verdere oefening en in aange paste vorm ook kan worden ingezet als extra materiaal voor de leerlingen.

Peter Ale & Martine van Schaik Amsterdam, april 2018

Webondersteuning

www.coutinho.nl/rwu3

Bij dit boek hoort een website met extra materiaal. Hierop vind je de uit werkingen van de opgaven die bij ieder hoofdstuk behoren (opgaven ba sisvaardigheden, repertoire en kennisbasis). Op de website staat een grote hoeveelheid opgaven op alle drie de niveaus. Ook vind je er extra reken- en wiskundestof die je als oefening kunt gebruiken of in je lessen kunt inzetten.

Inhoudsopgave

11

Inleiding

1

Hele getallen

17

17 17 17 21 29 37 39 40 48 51 51 66 70 70 72 74 76 77 82 83 85 90 93 97 98

1.1 Samenvatting

1.2 Basisvaardigheden

1.2.1 Talstelsels

1.2.2 Contexten en modellen

1.2.3 Eigenschappen van de bewerkingen 1.2.4 Kenmerken van deelbaarheid 1.2.5 Volgorde van de bewerkingen

1.2.6 Cijferen en schatten 1.2.7 De rekenmachine

1.3 Repertoire

1.3.1 Talstelsels

1.3.2 Driehoeks- en vierkantsgetallen 1.3.3 Rekenregels voor machten en wortels

1.3.4 Deelbaarheid door 3 en 9

1.3.5 Worteltrekken

1.3.6 Rekenen met wortels

1.3.7 Priemgetallen

1.3.8 Faculteit en combinatoriek 1.3.9 Negatieve getallen 1.3.10 Rijen en reeksen 1.3.11 Ontbinden in factoren

1.3.12 Vergelijkingen

1.3.13 Driehoek van Pascal 1.3.14 Merkwaardige producten

1.3.15 Grote getallen en de wetenschappelijke notatie

101 101 104 109

1.4 Oefeningen

1.4.1 Basis

1.4.2 Repertoire

1.4.3 Landelijke kennisbasis

2

Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen

113

113 113 114 121 129 134 136 138 139 139 140 142 143 144 145 148 148 151 153 157 157 159 165 167 170 171 184 184 187 189 189 194 198 157

2.1 Samenvatting

2.2 Basisvaardigheden

2.2.1 Verhoudingen

2.2.2 Procenten 2.2.3 Breuken

2.2.4 Kommagetallen

2.2.5 Afronden

2.2.6 Het (rekenkundige) gemiddelde

2.3 Repertoire

2.3.1 Procenten en procentpunten 2.3.2 Samengestelde interest 2.3.3 Van repetent naar breuk

2.3.4 Hellingshoek

2.3.5 Promille

2.3.6 Kansberekening

2.4 Oefeningen

2.4.1 Basis

2.4.2 Repertoire

2.4.3 Landelijke kennisbasis

3

Meten

3.1 Samenvatting

3.2 Basisvaardigheden

3.2.1 Het metrieke stelsel

3.2.2 Tijd en temperatuur meten

3.2.3 Standaardmaten

3.2.4 Hoeken

3.2.5 Omtrek, oppervlakte en inhoud

3.3 Repertoire

3.3.1 De stelling van Pythagoras 3.3.2 Meten in andere situaties

3.4 Oefeningen

3.4.1 Basis

3.4.2 Repertoire

3.4.3 Landelijke kennisbasis

4

Meetkunde

203

203 203 204 216 218 220 226 230 233 236 236 237 239 239 244 249 255 255 255 262 264 264 268 270 275 291 295 299 300 303 303 307 321 255

4.1 Samenvatting

4.2 Basisvaardigheden

4.2.1 Lijnen, hoeken en vormen 4.2.2 Projecteren en viseren 4.2.3 Lokaliseren en oriënteren

4.2.4 Transformeren, spiegelen en symmetrie

4.2.5 Construeren

4.2.6 Visualiseren en representeren

4.2.7 Redeneren

4.3 Repertoire

4.3.1 Bijzondere veelvlakken

4.3.2 Coördinaten

4.4 Oefeningen

4.4.1 Basis

4.4.2 Repertoire

4.4.3 Landelijke kennisbasis

5

Verbanden

5.1 Samenvatting

5.2 Basisvaardigheden

5.2.1 Verschillende soorten grafieken

5.2.2 Centrummaten

5.3 Repertoire

5.3.1 Percentielen

5.3.2 Discrete en continue data 5.3.3 Functies en hun grafiek

5.3.4 Meer diagrammen

5.3.5 Meetschalen 5.3.6 Cito en PPON

5.3.7 Normale verdeling

5.3.8 Lineair versus evenredig verband

5.4 Oefeningen

5.4.1 Basis

5.4.2 Repertoire

5.4.3 Landelijke kennisbasis

6

Verstrengeling

331

331 332 332 335 336 339 339 340 340 341 341 342 343

6.1 Samenvatting

6.2 Basisvaardigheden

6.2.1 Rekenen in andere vakken 6.2.2 Rekenen in het dagelijks leven 6.2.3 Een rekenprobleem oplossen

6.3 Repertoire

6.3.1 Voetbalplaatjes

6.3.2 Schalen

6.3.3 Formule voor samengestelde interest

6.3.4 Chloor in zwemwater

6.3.5 De lampjes in de mast van IJsselstein

6.3.6 De kortste afstand

6.4 Project – Kamperen in Parijs

351

Illustratieverantwoording

353

Bibliografie

355

Register

365

Over de auteurs

Inleiding

Waarom dit boek? Het verzorgen van rekenonderwijs op de basisschool is moeilijker dan veel leerkrachten zich realiseren. Het vraagt meer dan opdrachten zelf kunnen maken. Ook red je het niet met het aanleren van alleen de didactiek, want goed lesgeven zonder zelf voldoende rekenvaardig te zijn is onmogelijk. Dit boek is bestemd voor leerkrachten in het basisonderwijs en aankomende leerkrachten (pabostudenten). Het doel is de rekenvaardigheid die nodig is om als leerkracht op de basisschool goed te functioneren aan te leren en te verdiepen, zodat je weet waar je les over geeft. Wat is rekenvaardig? Hiervoor is niet een algemeen geldende definitie te geven. Het hangt ervan af welk niveau van beheersing nodig is. Iemand die alleen rekent voor dagelijkse zaken als het doen van boodschappen, het kopen van behang of vloerbedekking en het bijhouden van een dieettabel is voor zichzelf al snel rekenvaardig genoeg. Wie veel bezig is met percentages, gemiddelden en groeicurven moet meer kunnen. Als je ook nog pretendeert het rekenen aan anderen uit te kunnen leggen, dan is er nog meer nodig. Dan moet je niet alleen kunnen rekenen, maar ook op meerdere manieren en op verschillende niveaus. Dit is nodig om (foute) redeneringen van anderen te kunnen analyseren en te kunnen voorzien van goede reacties en impulsen ter verbetering, zoals het stellen van juiste vragen. Meerdere oplossingsmanieren kennen is voor leerkrachten cruciaal. Uit onderzoek is gebleken dat veel hulp die leerkrachten geven neerkomt op het aanleren van de methode die de leerkracht zelf beheerst. Een opgave als 48 × 37,5 kan uitgerekend worden door middel van de tussenstap 12 × 150. Dat 4800 × 3 8 ook een prima tussenstap is, is niet voor iedere leerkracht meteen inzichtelijk, terwijl een leerling die meer affiniteit met procenten en breuken heeft deze weg best kan kiezen. Als die leerling daarna een rekenfout maakt en de leerkracht reageert met ‘dat moet je zo doen’ en vervolgens zijn eigen aanpak laat zien, dan helpt de leerkracht deze leerling niet verder met zijn oplossing. Op deze manier wordt er niet aangesloten bij de rekenstrate gie van de leerling en wordt hij niet goed geholpen om rekenen te leren. Hij leert alleen wat de leerkracht weet, in plaats van dat de leerkracht de leerling

| 11

Rekenen en wiskunde uitgelegd

begeleidt op basis van de vraag. Bovendien kan de leerling de indruk krijgen dat zijn manier fout is, terwijl dat niet zo is.

Goed kunnen rekenen is pas het begin van goed kunnen uitleggen. In dit boek wordt niet ingegaan op wat uitleggen is. Dat gebeurt in ons didactiek boek Rekenen-wiskunde en didactiek (Ale & Van Schaik, 2017). Wel zal vaak bij de beschrijving van een model of werkwijze ook een school- of leerling perspectief worden gegeven en geregeld zal een link gelegd worden naar de praktijk van het basisonderwijs door tips en hints te geven bij de bespreking van rekenkundige onderdelen. Een overtuiging die studenten (en leerkrachten) vaak met zich meedragen is dat ze ‘toch niet kunnen rekenen’. Vooral wiskundedocenten winden zich op over de trots waarmee sommige mensen kunnen beweren dat wiskunde niets voor hen is. Een bijdrage op de website van Psychologie Magazine (juli 2010) gaat nog verder: ‘Toen ben ik voor het eerst van mijn leven gestopt met een opleiding en gestopt met verbergen dat ik niet kan rekenen. Ik vraag nu een ander iets voor mij uit te rekenen en vertel daarbij dat ik zo’n hersenkwabje mis. Wat een ruimte en wat een rust, er zijn heel veel rekenkundige wonder mensen om mij heen. Ik hoef nooit meer te rekenen!’ Een leerkracht in het basisonderwijs kan zich deze houding niet permitteren. Een leerkracht in het basisonderwijs wil goed kunnen rekenen en vindt reke nen leuk, fijn en plezierig, en wil dat ook overbrengen op zijn leerlingen. Ordelijkheid, netheid en structuur zijn basisvoorwaarden om goed te leren (en te kunnen) rekenen. De fouten die gemaakt worden doordat getallen niet netjes onder elkaar staan zijn niet nodig, maar komen wel vaak voor. Denken in structuren in plaats van in het onthouden van regels is voor de meeste rekenaars een middel om rekenproblemen, uitdagende opgaven, flexibel aan te kunnen pakken. Verder dan groep 8 Dit boek gaat verder dan het curriculum van groep 8 (referentieniveau 1S). Uit het voorgaande mag de conclusie getrokken worden dat een leerkracht ver boven de stof hoort te staan. Drie redenen: ■■ Om iets uit te kunnen leggen moet de leerkracht alle opgaven zonder problemen kunnen maken.

12 |

Inleiding

■■ Om iets goed uit te kunnen leggen moet de leerkracht alle (leer)lijnen doorzien. Daarom gaat vooral het hoofdstuk ‘Hele getallen’ zeer gedetail leerd in op de achtergrond van de hoofdbewerkingen. ■■ Een leerkracht mag niet in paniek raken als een leerling met onverwachte oplossingen komt, of een vraag stelt die niet in het boek staat (150 bees ten hebben samen 400 poten, het zijn koeien en kippen. Hoeveel koeien en kippen zijn dat?). Hij moet flexibel zijn in het omgaan met de wiskun dige inhoud en oplossingen. Alle elementen uit de Kerndoelen rekenen/wiskunde (SLO, 2006), de Ken nisbasis Rekenen-Wiskunde voor de lerarenopleiding basisonderwijs (Boersma e.a., 2018), de daarbij behorende Toetsgids en Handreiking Rekenen-wiskunde hebben in dit boek een plaats gekregen. Het gaat om: ■■ Wiskundig inzicht en handelen: 1 De leerlingen leren wiskundetaal gebruiken. 2 De leerlingen leren praktische en formele rekenwiskundige problemen op te lossen en redeneringen helder weer te geven. 3 De leerlingen leren hun aanpak bij het oplossen van rekenwiskundige problemen te onderbouwen en leren oplossingen te beoordelen. ■■ Getallen en bewerkingen: 1 De leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen, gehele getallen, kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee te rekenen. 2 De leerlingen leren de basisbewerkingen met gehele getallen in elk geval tot 100 snel uit het hoofd uit te voeren, waarbij optellen en af trekken tot 20 en de tafels van buiten gekend zijn. 3 De leerlingen leren schattend tellen en rekenen. 4 De leerlingen leren handig optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. 5 De leerlingen leren schriftelijk optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen volgens meer of minder verkorte standaardprocedures. 6 De leerlingen leren de rekenmachine met inzicht te gebruiken. ■■ Meten en meetkunde: 1 De leerlingen leren eenvoudige meetkundige problemen op te lossen. 2 De leerlingen leren meten en leren te rekenen met eenheden en ma ten, zoals bij tijd, geld, lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht, snelheid en temperatuur. (Zie ook: www.slo.nl/primair/kerndoelen.)

| 13

Rekenen en wiskunde uitgelegd

Naar aanleiding van de herijking van de kennisbasis 2017/2018 zijn, vergele ken met de vorige druk, de volgende onderwerpen toegevoegd of hebben meer aandacht gekregen: 1 radixnotatie; 2 procentpunten; 3 rekenen met wortels;

4 het kwantificeren van subjectieve gegevens; 5 de betekenis van grootheid – eenheid – maat; 6 vergrotingsfactor; 7 coördinaten; 8 transleren; 9 congruentie en gelijkvormigheid; 10 doorsneden in de meetkunde; 11 infographics; 12 twee vergelijkingen met twee onbekenden; 13 verschillende typen van functies; 14 boxplot; 15 causaliteit en significantie.

Structuur van het boek Dit boek volgt inhoudelijk de structuur van de Kennisbasis Wiskunde Leraren opleiding basisonderwijs (Boersma e.a., 2018). In de kennisbasis wordt onder scheid gemaakt tussen: ■■ kennis van rekenen-wiskunde; ■■ specifieke rekenwiskundige kennis van de basisschoolleraar; ■■ kennis van maatschappelijke relevantie en vervlechting van rekenen-wis kunde. In dit boek komen alle drie de soorten kennis aan bod. In de opgaven is aan dacht voor het beoordelen van oplossingen van leerlingen. Het echt analy seren van leerlingenwerk en daar conclusies aan verbinden valt buiten het bereik van dit boek. Om goed te kunnen analyseren is de wiskundige kennis uit dit boek wel noodzakelijk. Er wordt gewerkt naar een hoger niveau dan 3S van de ‘Expertgroep Doorlo pende Leerlijnen Taal en Rekenen’ – ook wel ‘Commissie Meijerink’ (Expert groep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2008). Dit wordt gerealiseerd in het onderdeel ‘Repertoire’. Het onderdeel ‘Basisvaardigheden’ van elk hoofdstuk bereidt voor op niveau 3S.

14 |

Inleiding

tip Door het boek heen zijn tips opgenomen, die aan de leerkracht handvatten bieden om de stof bij de leerling onder de aandacht te brengen.

Hier vind je verwij zingen naar infor matie op internet. Deze informatie is bedoeld als aanvul ling of verdieping van de behandelde onderwerpen.

De hoofdstukken behandelen achtereenvolgens: ■■ hele getallen; ■■ verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen; ■■ meten;

■■ meetkunde; ■■ verbanden; ■■ verstrengeling.

Per hoofdstuk wordt de volgende structuur gehanteerd: ■■ samenvatting; ■■ basisvaardigheden; ■■ repertoire;

■■ opgaven op twee niveaus (basisvaardigheden en repertoire); ■■ opgaven conform de landelijke Kennistoets Rekenen-Wiskunde.

Onder repertoire wordt verstaan wat een leerkracht moet weten, maar wat niet altijd in de leerlingboekjes staat. Het gaat dan om: ■■ machten, wortels, priemgetallen, andere talstelsels en negatieve getallen; ■■ rijen; ■■ ontbinden in factoren (grootste gemene deler/kleinste gemene veelvoud); ■■ lijnen en grafieken; ■■ vergelijkingen; ■■ coördinaten; ■■ hoeken; ■■ driehoek van Pascal; ■■ kansberekening; ■■ formules; ■■ stelling van Pythagoras; ■■ bewijzen, formules afleiden. Deze aspecten komen aan de orde als het behandelde leerstofdomein zich daartoe leent. Wortels kunnen bijvoorbeeld bij hele getallen een rol spelen ( 16 ), maar ook bij kommagetallen ( 30,25 ) en bij meetkunde (de lengte van de schuine zijde als de rechthoekszijden 5 en 6 zijn).

| 15

Rekenen en wiskunde uitgelegd

Uitgangspunten om te leren rekenen Voorwaarde om goed te kunnen rekenen is het beheersen van een aantal basis vaardigheden. Hoewel deze voor de hand lijken te liggen, sommen we ze hier op: 1 getalbegrip en hoeveelheidbegrip (je iets kunnen voorstellen bij getallen);

2 optellen en aftrekken tot 100 geautomatiseerd; 3 vermenigvuldig- en deeltafels geautomatiseerd.

Als deze basis niet aanwezig is, zal daar voortdurend, en liefst van tevoren, aan moeten worden gewerkt. Er is nog een vierde basiselement nodig: 4 een niveau van logisch denken, waarbij de rekenaar los kan komen van het hier en het nu, van het directe moment en de concrete situatie. Het niveau van logisch denken zal bij het verder bekwamen in rekenen steeds hoger worden. Probleemoplossend en wiskundig redeneren helpen daarbij. tip 1 Basisvaardigheden kunnen uitgebreid op internet of via apps geoefend worden. Voorbeelden van sites zijn www.rekentuin.nl, www.rekenweb.nl en www.rekenbeter.nl. Kijk voor meer links op www.coutinho.nl/rwu3 . In de methoden op de basisschool leren de leerlingen het rekenen via contex ten, modellen en daarna de formele opgave. De manier waarop dit toegepast wordt hangt af van de methode. In dit boek is steeds aandacht voor welke contexten en modellen zinvol zijn bij een bepaalde wiskundige activiteit. Uit gangspunt is dat een context een situatie is gebaseerd op een onderliggend model met als doel het oplossen te ondersteunen. Bij het bedenken van een context begint de leerkracht daarom altijd met het model. Op grond daarvan kan een relevante situatie gecreëerd worden. Dit boek geeft de basis om goed les te kunnen geven. Het is de ‘kennis voor het lesgeven’, zoals dat heet in Voetstuk van de Pabo (Van Zanten e.a., 2009). Om deze kennis te beheersen is oefening op drie niveaus nodig: context, mo del en formele opgave. Het is daarom belangrijk dat de lezer zo veel mogelijk elke opgave op deze drie niveaus oplost en waar mogelijk ook steeds kijkt of er bij de formele oplossing sprake kan zijn van handig rekenen. Een selectie van de opgaven bevindt zich achter elk hoofdstuk in het boek. Overige opga ven en alle uitwerkingen staan op www.coutinho.nl/rwu3 .

Oefen je basis vaardigheden op internet of via apps.

Met dit icoontje wordt verwezen naar de para graaf waarin het betreffende on derwerp wordt besproken.

16 |

1 Hele getallen

1.1

Samenvatting

In dit hoofdstuk komen alle rekenkundige activiteiten aan de orde die met hele getallen uit te voeren zijn. Alle bewerkingen inclusief machten, wortel trekken en faculteit worden behandeld. Verder is er aandacht voor rijen en vergelijkingen. De basis vormen contexten en modellen die ten grondslag lig gen aan de bewerkingen. Er worden geen recepten gegeven, maar de leerlijn van context via model naar formele opgave wordt zo veel mogelijk gevolgd.

1.2

Basisvaardigheden

1.2.1 Talstelsels Om hoeveelheden op te kunnen schrijven en ermee te kunnen rekenen is een systeem nodig dat door iedereen begrepen en gehanteerd kan worden. Zo’n systeem heet een talstelsel. Toen men vroeger nog in kleine hoeveelheden dacht, waren allerlei turfsystemen afdoende. Vier streepjes met een streepje erdoorheen is vijf. De Romeinen gebruikten een systeem dat uit enkele symbolen bestond. Elk symbool had zijn eigen waarde:

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50

C = 100 D = 500 M = 1000

| 17

1  Hele getallen

tip 2 Besteed tijdens de les aandacht aan de geschiedenis van ons talstelsel en de rol die culturen op andere continenten hierbij hebben gespeeld. Leestip: Bellos, A. (2010). Getallen ontraadseld . Utrecht: Kosmos uitgevers B.V. Met een aantal simpele regels kon men hoeveelheden symboliseren. Met behulp van een eenvoudig rekenhulpmiddel, de Romeinse abacus , kon men er zelfs mee rekenen. De regels waren: ■■ Een symbool gevolgd door een symbool voor een even groot of kleiner getal betekent dat de waarden van beide symbolen bij elkaar opgeteld moeten worden. Dus XX = 10 + 10 = 20 en XIII = 13. ■■ Een symbool gevolgd door een symbool met een grotere waarde betekent dat het kleinste van het grootste symbool moet worden afgetrokken. IX betekent dan: 10 − 1 = 9. Dit systeem heet een additief talstelsel . Zo’n stelsel heeft belangrijke nadelen: het heeft een beperkt aantal symbolen en het rekenen op een blaadje is erg bewerkelijk. Bijzonder is dat het symbool voor nul niet nodig is. Toen de maatschappij complexer werd, was een ander talstelsel nodig. Dit werd gaandeweg bijna wereldwijd het decimale positiestelsel . De kern van een positiestelsel is dat de waarde van een cijfer niet alleen bepaald wordt door het cijfer zelf, maar ook door de plaats waar dat cijfer in het getal staat. In het decimale (tientallige) stelsel is in het getal 3273 de eerste 3 drieduizend waard, terwijl de laatste 3 ‘slechts’ drie waard is. Hierbij kan een positiesche ma worden gemaakt.

Duizendtallen Honderdtallen

Tientallen

Eenheden

3

2

7

3

Nu ontstaat ook de noodzaak tot het invoeren van een symbool voor nul. Als er bijvoorbeeld geen honderdtallen zijn, dan kan die positie niet leeg gelaten worden. Op die plaats komt de nul: 3073.

Duizendtallen Honderdtallen

Tientallen

Eenheden

3

0

7

3

18 |

1.2  Basisvaardigheden

tip 3 Het positiestelsel dat hier besproken wordt, heet het tientallig stelsel. Een goe de oefening is om ook eens te rekenen in het achttallig stelsel. Hierdoor ervaar je wat leerlingen meemaken als zij de basis van het rekenen leren. Kijk bijvoor beeld in Het land van Okt (Goffree, 1995).

De basis van ons positiestelsel is het getal 10. Als we dit toevoegen aan de tabel, wordt de relatie tussen de verschillende plaatsen en de 10 zichtbaar.

Duizendtallen Honderdtallen

Tientallen

Eenheden

10 2

10 1

10 0

10 3

3

2

7

3

10 3 betekent 10 × 10 × 10, 10 2 betekent 10 × 10, 10 1 = 10 en 10 0 is per defini tie 1. In hoofdstuk 2 gaan we in op de betekenis van 10 −1 . tip 4 Wil je zien wat de machten van 10 betekenen? Kijk eens op www.coutinho.nl/ rwu3 en bekijk de Melkweg op 10 miljoen lichtjaar van de aarde. Of probeer het zelf uit met Google Earth, door in en uit te zoomen. Visualiseren van getallen Er zijn twee goede manieren om getallen in beeld te brengen. De ene gaat uit van materiaal, bijvoorbeeld blokjes, terwijl de andere gebruikmaakt van een model , zoals de getallenlijn. Een mooie context om het tientallig stelsel in beeld te brengen is het gebruik van geld: 100 euro, 10 euro en 1 euro. Door de verschillende waarden kan het positiestelsel inzichtelijk gemaakt worden.

Bekijk de mach ten van tien in de praktijk.

In het basisonderwijs gebruikt men ook wel het zogenoemde MAB-mate riaal ( Multibase Arithmetic Blocks ). Dit is een leermiddel waarbij het tientallig stelsel is weergegeven in losse blokjes (eenheden), staafjes van 10 (tientallen), plaatjes van 10 × 10 (honderdtallen) en kubussen van 10 × 10 × 10 (duizend tallen).

Figuur 1.1  MAB-materiaal

| 19

1  Hele getallen

tip 5 Door gebruik te maken van materialen en modellen wordt een opgave niet al leen zichtbaar voor de leerling, maar wordt de opgave ook inzichtelijk. Op deze manier krijgt de leerling meer grip op de getallen, of zelfs op de structuur van de getallen en de bewerking. Uiteraard moeten deze hulpmiddelen in een later stadium niet meer nodig zijn. Om leerlingen ervan los te laten komen, kan de stap ‘alleen nog aan het hulpmiddel denken’ worden gebruikt. Dit wordt weg denken genoemd. De modellen worden ‘geestelijk’ eigendom van de leerling en helpen hem modelmatig te denken. De getallenlijn is een belangrijk model om inzicht te krijgen in het positiestel sel. Het gaat dan niet alleen om de waarde die een cijfer heeft op basis van de plaats in het getal, maar ook welke plaats een cijfer heeft binnen de verzame ling van alle cijfers.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900 1000

600 610

620

630

640

650

660

670

680

690 700

660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670

Figuur 1.2  Getallenlijnen van verschillende orde van grootte

De getallenlijnen laten zien dat het getal 667 gezocht moet worden tussen 600 en 700. Dit kan verder ingekaderd worden door eerst te kijken tussen de 660 en 670 en daarna het interval nog te verkleinen naar 665-670. Op deze manier wordt de rekenaar zich bewust van de waarde van de getallen waar mee gerekend wordt. tip 6 In veel reken/wiskundemethoden wordt de getallenlijn ingezet bij het maken van opgaven. De getallenlijn kan ondersteunen bij het rekenen. Het is ech ter al in een eerdere fase een prima hulpmiddel om leerlingen getalbegrip bij te brengen. Kinderen moeten dan bijvoorbeeld getallen op een getallenlijn plaatsen. In de vakdidactiek heet dit positioneren, een belangrijke oefening om inzicht te krijgen in de waarde van getallen.

20 |

1.2  Basisvaardigheden

1.2.2 Contexten en modellen Een model is een schematische weergave van de achterliggende bedoeling van een bewerking of opgave. Een model is dan ook bedoeld om inzicht te krijgen in de wiskundige handeling of bewerking. Een bewerking is bij voorbeeld optellen. Een model om inzichtelijk te maken wat er gebeurt bij optellen is de getallenlijn. Een getallenlijn kan een lijn zijn met streepjes met of zonder getallen erbij. Hij kan ook een lege getallenlijn zijn, waarbij de reke naar zijn eigen strategieën invult.

3 + 4 = 3 +1

+1

+1

+1 7

3

7

+2

+2

Figuur 1.3  3 + 4 op een getallenlijn

Een context is een betekenisvolle situatie gebaseerd op een (wiskundig) model. Een context is zodanig ontworpen dat het model dat de wiskundige handeling inzichtelijk maakt voor de hand ligt. Bij de opgave ‘3 erbij 4’ zou de context kunnen zijn: Gusta heeft drie jurkjes voor haar pop. Ze krijgt er van haar tante nog vier bij. Een context ontwerpen begint met vast te stellen welk model bij de formele opgave hoort. Als dat bekend is, kan meestal geko zen worden uit een rijke hoeveelheid contexten (situatie ondersteund door model). Het ontwerpen van een context gaat uit van de bewerking of wiskundige handeling die wordt aangeleerd. Het leren van de leerling begint echter bij de context en komt via het model bij de formele opgave uit. Rekenen is ontstaan vanuit de behoefte om de praktijk te kunnen beschrijven en te bewerken door middel van rekenkundige processen. Op het moment dat hoeveelheden gehanteerd moeten worden, ontstaat de behoefte aan een systeem. Om dat systeem goed te kunnen beheersen moeten de achterlig gende praktische situaties bekend zijn. Het begrip vermenigvuldigen moet betekenis hebben voordat tafels en dergelijke geleerd kunnen worden. Dat

| 21

1  Hele getallen

7 × 8 gelijk is aan 56 kan door de volgende context zichtbaar gemaakt wor den: als je zeven uur werkt à € 8,- per uur, dan heb je aan het eind van de dag € 56,- verdiend (uitgeschreven: € 8,- + € 8,- + € 8,- + € 8,- + € 8,- + € 8,- + € 8,- = € 56,-). Het model dat hierbij gebruikt kan worden is de getallenlijn, met achtereenvolgens zeven sprongen van € 8,-.

+8

+8

+8

+8

+8

+8

+8

0

8

16

24

32

40

48

56

Figuur 1.4  Getallenlijn bij 7 × 8

Als je dezelfde opgave wilt beschrijven met een ander model, verandert ook de context. Op grond van het rechthoekmodel is een mogelijke context: op een bakplaat liggen zeven rijen met acht koekjes. Hoeveel koekjes zijn dit?

Figuur 1.5  Context met bijpassend rechthoekmodel

Uit deze twee voorbeelden blijkt dat een context niet zomaar een situatie is, maar dat er een model bij hoort waardoor je de bewerking (nog beter) gaat begrijpen.

22 |

1.2  Basisvaardigheden

Modellen voor de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen Bewerkingen zijn de rekenkundige activiteiten die met getallen uitgevoerd kunnen worden. De belangrijkste bewerkingen zijn: optellen, aftrekken, ver menigvuldigen en delen. Alle bewerkingen leiden naar een resultaat. Dat wordt voorafgegaan door het isgelijkteken (=) . Dat dit echt ‘is gelijk’ betekent wordt weleens over het hoofd gezien. De op gave 25 × 28 = 700 is correct geformuleerd. Sommige mensen gebruiken om dit doel te bereiken tussenoplossingen:

25 × 28 = 100 × 28 = 2800 : 4 = 700

De gedachtegang is logisch, de notatie is echter wiskundig niet juist. In het algemeen wordt dan gesproken over wiskundig niet correct. Een wiskundig correcte weergave is:

100 × 28 = 2800 2800 : 4 = 700

Een andere mogelijkheid is:

25 × 28 = 25 × 4 × 28 : 4 = 100 × 28 : 4 = 2800 : 4 = 700

In de eerste aanpak wordt de gedachtegang gesplitst in stappen. Bij de twee de wordt na elk isgelijkteken gezorgd voor een kloppende berekening.

Optellen kan gezien worden als het samenvoegen van twee of meer hoeveel heden. Het sleutelwoord is: samen. De getallen die bij elkaar opgeteld worden heten de termen van de optelling. De uitkomst heet de som . Een voorbeeld: Ahmed heeft vijf boeken. Zijn zus Aïcha heeft er drie. Hoeveel boeken heb ben ze samen? Het model hierbij is dan het zogenoemde groepjesmodel, dat ook door middel van staafjes (of een strook) kan worden weergegeven:

Figuur 1.6  Modellen voor de opgave 5 + 3

| 23

1  Hele getallen

Een model voor het rekenen tot honderd is het honderdveld . Het honderd veld kan helemaal ingevuld gebruikt worden, maar een gedeeltelijk ingevuld model levert betere mogelijkheden om te leren en te oefenen.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Figuur 1.7  Honderdvelden

Door het honderdveld niet helemaal in te vullen kunnen er stappen van 10 gemaakt worden door verticaal te werken. Je kunt beredeneren welke getal len onder de afgedekte velden zitten. Hoeveel zit er tussen het zevende vakje van rij 4 en het vijfde vakje van rij 8? Enzovoort.

Een ander model is de al genoemde getallenlijn, ook wel lijnmodel genoemd.

+5

+1

32

37 38

Figuur 1.8  Lege getallenlijn waarop de opgave 32 + 6 is uitgevoerd

Dit model maakt het mogelijk de denkstappen in beeld te brengen. Ook sluit het beter aan bij de ontwikkeling van de getalwaarden. Daarom verdient de lege getallenlijn vaak de voorkeur boven het honderdveld.

Een situatie waarbij optellen niet meteen duidelijk is te zien, is het uitrekenen van de totale prijs van aankopen in een winkel. Een potlood van € 1,-, een

24 |

1.2  Basisvaardigheden

agenda van € 3,- en een nietmachine van € 5,- kosten bij elkaar € 9,-. In plaats van de prijzen samen te voegen, neem je bijvoorbeeld eerst de prijs van de pen, waar je vervolgens de prijs van de nietmachine bij optelt en daarna de prijs van de agenda. Deze optelwijze heet rijgen . Andere situaties zijn: het me ten van lengtes (twee stukjes zijn samen …) en warmte (de temperatuur is 12 graden, daarna gaat de verwarming aan en wordt het 20 graden). Een ander aspect van optellen is toename: ‘Hoe oud ben je over zes jaar?’ De oplossing kan gevonden worden door verder te tellen, maar de bewerking is optellen. Als onderliggend model ligt de getallenlijn hierbij voor de hand. In paragraaf 1.2.3 worden de eigenschappen van de bewerkingen op een rijtje gezet. Bij optellen is het belangrijk te constateren dat 7 + 8 rekenkundig net zo veel is als 8 + 7. Deze eigenschap heet de commutatieve eigenschap (of wisseleigenschap). Ze kan gebruikt worden om een opgave wat gemakkelij ker te laten lijken: 5 + 49 ziet er moeilijker uit dan 49 + 5. Bovendien is het rekenproces korter. Let op, de commutatieve eigenschap betekent niet dat het omgekeerde van de bewerking hetzelfde betekent. Dit mag blijken uit de volgende situatie: Joost krijgt van opa € 7,-, zijn zus Sanne krijgt € 18,-. Het is duidelijk dat Sanne nu blijer is dan Joost. Zou opa de bedragen andersom hebben verdeeld, dan zou er voor hem niks veranderen, maar zou de blijd schap bij de kinderen anders uitgepakt hebben, terwijl hij in beide gevallen € 25,- heeft weggegeven. De commutatieve eigenschap betekent dus dat vanwege de uitkomst 7 + 18 rekenkundig hetzelfde is als 18 + 7. De situatie of context is in beide gevallen echter anders. Bij een aftrekking heet het getal waarvan wordt afgetrokken het aftrektal . Het getal dat daarvan afgetrokken wordt heet de aftrekker . De uitkomst van een aftrekking heet het verschil . Aftrekken gaat echter niet altijd over het verschil

tussen twee grootheden (getallen, hoeveelheden). Er zijn vier manieren om naar aftrekken te kijken: 1 splitsen; 2 verminderen; 3 vergelijken; 4 inverse (het omgekeerde) van optellen.

Het is belangrijk dat leerkrachten weten dat deze vier benaderingen bestaan en dat zij ze ook kunnen herkennen en gebruiken bij hun hulp aan leerlingen.

Van splitsen is sprake als bij een hoeveelheid wordt gevraagd hoeveel er over blijft wanneer alvast een groepje benoemd wordt. Bijvoorbeeld: in een doos

| 25

1  Hele getallen

zitten achttien knikkers, hoeveel blijven er over als er zes uitgehaald worden? Of: van de 25 kinderen in de klas mogen er zes meedoen met het toneelstuk, hoeveel kinderen mogen niet meedoen? tip 7 Het splitsen van de getallen tot 20 wordt in bijna iedere reken/wiskundeme thode veelvuldig geoefend door middel van ‘splitstabellen’ of ‘T-tabellen’. Zo leren leerlingen bijvoorbeeld dat 8 is op te splitsen in 1 en 7, 2 en 6 enzovoort. Op deze manier leren ze niet alleen alle splitsingen van 8, maar leren ze ook het inverse verband tussen bijvoorbeeld de optelling 6 + 2 = 8 en de aftrekking 8 − 6 = 2. Bij verminderen gaat het om terugtellen. Een dvd-speler kost € 135,-. Hij wordt € 19,- goedkoper. Wat is de nieuwe prijs? Dit kan berekend worden door op een getallenlijn terug te tellen. Hierbij hoort de opgave: 135 − 19. Als het groepjesmodel gebruikt wordt, gaat het om één groepje waaruit elemen ten worden verwijderd. In figuur 1.9 wordt dat weergegeven voor de opgave 5 − 3.

Figuur 1.9  Modellen voor de opgave 5 − 3

Bij vergelijken gaat het om het verschil tussen twee hoeveelheden. Het gaat om wat is meer, wat is minder, hoeveel meer, hoeveel minder? Het model dat hierbij hoort is een dubbele strook.

A

B

Figuur 1.10  Twee stroken tonen het verschil. Het verschil is 3, want 9 − 6 = 3.

26 |

1.2  Basisvaardigheden

Bij de inverse toepassing van aftrekken wordt gekeken naar hoeveel er nog bij moet om een bepaalde hoeveelheid te krijgen. Stel, ik ben aan het sparen voor een fiets van € 530,-. Ik heb al € 375,-. Hoeveel geld moet ik nog sparen voordat ik de fiets kan kopen? Zwakke rekenaars kunnen hier ook voor op tellen kiezen. Zeker als de opgave geformuleerd is als ‘hoeveel moet er nog bij 375 om 530 te krijgen?’ Het is dus zaak de kinderen bewust te maken van de betekenis van deze opgave. De context gaat over ‘erbij’; het model dat hierbij past is de getallenlijn. In het dagelijks leven worden veel van deze varianten automatisch gebruikt. Bij het lesgeven moet de leerkracht zich hier steeds van bewust zijn en leer lingen met behulp van de juiste contexten en modellen helpen. Als veel dezelfde getallen bij elkaar opgeteld moeten worden, is het handiger om dit te doen met behulp van een vermenigvuldiging. De getallen die met elkaar vermenigvuldigd worden heten factoren . Als twee getallen met elkaar vermenigvuldigd worden, heet het eerste getal de vermenigvuldiger en het tweede getal het vermenigvuldigtal . In de opgave 6 × 7 is 6 de vermenigvuldi ger en 7 het vermenigvuldigtal. De uitkomst van een vermenigvuldiging heet het product . De betekenis van een vermenigvuldiging is afhankelijk van de situatie. We herkennen twee betekenissen: 1 herhaald optellen; 2 vermenigvuldigen met een factor. tip 8 Neem een krant. Wanneer je die dubbelvouwt, heb je twee lagen papier op elkaar (2 1 ). Vouw je hem nog eens dubbel, dan heb je vier lagen (2 2 ). Zo kun je verdergaan. Hoe vaak lukt het? Hoe kan dat? Het herhaald optellen is de meest gebruikelijke manier om naar vermenig vuldigen te kijken. Zes rijtjes van vier flesjes (een krat bier/cola), 64 velden op een schaakbord (8 × 8), iedereen geeft € 5,- voor het cadeau van de juf (27 × 5), enzovoort. De modellen die hierbij aansluiten zijn het rechthoekmodel en het groepjes model .

| 27

1  Hele getallen

3

3

3

3

Figuur 1.11  Modellen voor de opgave 4 × 3: links groepjesmodel, rechts rechthoekmodel

Het is ook mogelijk met een getal te vermenigvuldigen door bijvoorbeeld een foto een aantal keer te vergroten, iets te verdubbelen of te halveren, enzo voort. Een hond loopt drie keer zo snel als een konijn. Een hond loopt de afstand in twee minuten. Het konijn doet er … minuten over. In het algemeen noem je het omgekeerde van vermenigvuldigen delen . Bij de deling worden net als bij aftrekken drie verschillende namen gehanteerd voor de verschillende getallen die onderdeel zijn van de deling: deeltal : deler = quotiënt . Dit betekent dat het getal dat gedeeld wordt het deeltal wordt genoemd. Het getal waarmee gedeeld wordt heet de deler. De uitkomst van een deling heet het quotiënt.

Delen heeft ook meerdere interpretaties: 1 eerlijk verdelen en uitdelen; 2 het inverse (omgekeerde) van vermenigvuldigen; 3 ratio (verhouding).

Bij eerlijk verdelen gaat het om het gelijk verdelen van een hoeveelheid. Dit kunnen 24 knikkers zijn die je verdeelt over zes kinderen. Je vraagt dus eigen lijk: verdeel 24 in zes groepjes.

28 |

1.2  Basisvaardigheden

tip 9 De 28 leerlingen van een klas krijgen ieder 25 knikkers. De juf heeft het uitde len voorbereid en heeft zakjes van 100 knikkers gemaakt. Elk tafelgroepje (vier kinderen) krijgt een zakje om samen te verdelen. Er zijn zeven groepjes van vier, dus in plaats van 28 × 25 knikkers te moeten uitdelen, geeft de juf 7 × 100 knikkers weg. Bij de inverse toepassing van vermenigvuldigen past de volgende situatie: maak bakjes van zes appels uit een zak met 24 appels. Het model is hier niet verdelen, maar herhaald aftrekken. Dit wordt ook wel opdelen genoemd. In beide gevallen is de opgave 24 : 6, maar de betekenis is anders. Bij de knikkers krijgt een kind steeds één knikker van het totaal, terwijl bij de appels er steeds zes van het totaal weggehaald worden. Het proces stopt als de zak leeg is. Bij ratio worden twee hoeveelheden met elkaar vergeleken. Het gaat altijd om de verhouding tussen deze twee hoeveelheden: een persoon van twee meter is tweemaal zo groot als een persoon van één meter, of Sophie ver dient drie keer zo veel als Gijs. Je kunt dan zeggen dat de verhouding tussen de inkomens van Sophie en Gijs 3 staat tot 1 is ( notatie 3 : 1). Sophie verdient namelijk drie euro wanneer Gijs er één verdient. Verdient Gijs twee euro, dan zal Sophie dus zes euro verdienen. 1.2.3 Eigenschappen van de bewerkingen Een belangrijk aspect in het rekenen is het handig rekenen . Hierbij wordt verwacht dat de opgave niet alleen volgens de traditionele methoden wordt opgelost, maar dat, met gebruikmaking van reeds aanwezige kennis, de een voudigste aanpak gekozen wordt. Bijvoorbeeld: 28 × 25 zal door veel mensen opgelost worden door 20 × 25 en 8 × 25 uit te rekenen. Dat betekent dat de tussenuitkomsten moeten worden onthouden en daarna bij elkaar opgeteld moeten worden. Een handige rekenaar zou zeggen 28 × 25 = 7 × 100 (28 delen door 4, 25 ver menigvuldigen met 4). De inspiratie voor deze strategie is het getal 25, omdat 4 × 25 een mooi rond getal oplevert. Een ander voorbeeld: 87 − 49 = 88 − 50 = 38. De rekenstrategie van de handi ge rekenaar is: maak de aftrekker mooi rond en tel bij het aftrektal hetzelfde op als bij de aftrekker.

| 29

1  Hele getallen

Bij handig rekenen wordt vaak gebruikgemaakt van de eigenschappen van de bewerkingen en strategieën. 1 De commutatieve of wisseleigenschap: 3 + 4 = 4 + 3; 3 × 4 = 4 × 3. 2 De distributieve of verdeeleigenschap: 8 × (5 + 7) = (8 × 5) + (8 × 7). 3 De associatieve of schakeleigenschap: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5). 4 De inverse eigenschap: 24 : 3 = 8 dus 8 × 3 = 24. 5 Compenseren/transformeren of termen veranderen: 124 + 189 = 113 + 200; 2876 − 387 = 2889 − 400. 6 Groter en kleiner maken bij vermenigvuldigen: 48 × 75 = 12 × 300. 7 Groter of kleiner maken bij delen: 336 : 12 = 112 : 4. Een goed gebruik van deze eigenschappen maakt het cijferen bijna overbodig. Het flexibel rekenen met behulp van de eigenschappen van de bewerkingen wordt ook wel de varia-aanpak genoemd. tip 10 In de didactiek komen de volgende oplossingsstrategieën voor bij het bereke nen van optel-, aftrek-, vermenigvuldig- en deelopgaven: ■■ rijgen; ■■ splitsen; ■■ varia-aanpak.

Dat zie je terug in de opgaven uit de reken-wiskundemethoden voor het basis onderwijs in de midden- en bovenbouw.

De commutatieve eigenschap wordt vaak gebruikt om een opgave een ple zierig uiterlijk te geven: 29 + 15 oogt beter dan 15 + 29, terwijl de uitkomst hetzelfde is. De commutatieve eigenschap geldt alleen voor optellen en vermenigvuldigen. De commutatieve eigenschap van een optelling kan met stroken of met de getallenlijn zichtbaar gemaakt worden.

Figuur 1.12  Commutatieve eigenschap van een optelling: 6 + 3 = 3 + 6

30 |

1.2  Basisvaardigheden

De commutatieve eigenschap van een verme nigvuldiging kan het best met het rechthoek model zichtbaar gemaakt worden. Een context kan helpen om dit nog inzichtelijker te maken. Als je bijvoorbeeld naar een kratje colaflesjes kijkt, kun je 4 × 3 of 3 × 4 flesjes zien. De in houd zal echter steeds twaalf flesjes blijven.

Figuur 1.13  Context bij rechthoekmodel

De distributieve eigenschap kan op veel manieren worden toegepast. 1 De traditionele manier: 8 × (5 + 7) = (8 × 5) + (8 × 7). 2 Splitsen: 18 × 25 = 10 × 25 + 8 × 25; 132 : 12 = 120 : 12 + 12 : 12. 3 Inverse: (37 × 5,5) + (5,5 × 63) = 100 × 5,5. 4 Om beter uit te komen: 39 × 25 = 36 × 25 + 3 × 25 = 900 + 75, of: = 40 × 25 − 1 × 25 = 1000 − 25. 39 kan dus verdeeld worden in 36 + 3, maar ook in 40 − 1. De splitsvariant kan niet uitgebreid worden met 65 : 15 = 65 : 10 + 65 : 5. De verdeeleigenschap geldt wel voor het deeltal, maar niet voor de deler. Als de deler gesplitst wordt, wordt de uitkomst groter. Met behulp van een model kan dit uitgelegd worden.

15

4

Figuur 1.14  65 : 15 = 4 rest 5

Je tekent de hoeveelheid 65 en kijkt hoe vaak je daar 15 vanaf kunt halen. Dat kan vier keer. Er blijft 5 over. Als je 65 : 10 + 65 : 5 in eenzelfde model weergeeft, zie je dat je twee keer de hoeveelheid 65 deelt. In eerste instantie wordt 65 in groepjes van 10 verdeeld (dat kan zes keer) en daarna in groepjes van 5 (dat kan dertien keer). Uit het plaatje wordt duidelijk dat er niet 65 verdeeld wordt, maar dat 65 op twee

| 31

1  Hele getallen

verschillende manieren verdeeld wordt. Hierdoor wordt zichtbaar dat 65 : 15 niet gelijk is aan 65 : 10 + 65 : 5.

5

10

6

13

Figuur 1.15  Visualisatie van 65 : 10 en 65 : 5

tip 11 Laat leerlingen van de bovenbouw eens onderzoeken of je 60 : 15 wel kunt op splitsen in 60 : 5 : 3. Bouw rond deze opgave een context waardoor de bewer king inzichtelijk wordt. Denk eerst aan het model dat erbij hoort. De associatieve eigenschap geeft aan dat bij optellen en vermenigvuldigen de volgorde van de getallen niet uitmaakt. Hierdoor kunnen in opgaven de ge tallen worden herschikt, waardoor de opgave gemakkelijker is uit te rekenen. Bij het uitrekenen van 29 × 25 × 4 kan eerst 25 × 4 worden uitgerekend. Dan blijft 29 × 100 over. Dit is zonder rekenmachine goed uit te rekenen. De associatieve eigenschap geldt niet zonder meer als optellen en vermenig vuldigen allebei in de opgave staan: (3 + 4) × 5 ≠ 3 + (4 × 5).

32 |

1.2  Basisvaardigheden

tip 12 Onderzoek in welke mate de eigenschappen van de bewerkingen een rol spelen bij het aanleren van de tafels van vermenigvuldiging. De inverse eigenschap laat de rekenaar gebruikmaken van het feit dat aftrekken het omgekeerde is van optellen, en delen het omgekeerde van vermenigvuldigen. De opgave 411 − 395 kan ook weergegeven worden als 395 + … = 411. Hierbij kan door tellen of rijgen snel een oplossing gevonden worden: eerst 5 erbij en dan nog 11. 1250 : 25 kun je berekenen via … × 25 = 1250. 15 : 0,75 kun je voorzien van een context: hoe vaak past 0,75 in 15; hoeveel flessen van 0,75 liter kun je halen uit een jerrycan van 15 liter? tip 13 Stip- en vleksommen in rekenmethoden hebben als doel de inverse relatie zichtbaar te maken tussen optellen en aftrekken, en tussen vermenigvuldigen en delen. Compenseren is van toepassing bij optellen en aftrekken. Sommige metho den maken onderscheid tussen indirect en direct compenseren, vaak ook wel compenseren en transformeren genoemd; in dit boek worden de laatste termen gebruikt. In methoden kom je bij compenseren ook begrippen tegen als termen veranderen en tribunesommen. Bij transformeren worden de aanpassingen die gemaakt worden direct ver werkt: 25 + 17 = 30 + 12. Bij compenseren gebeurt dat achteraf: 25 + 17 = 30 + 17 − 5. De voorkeur gaat uit naar transformeren, omdat compenseren vaak tot fouten leidt (zeker bij aftrekken). tip 14 Om te kunnen transformeren of compenseren moeten leerlingen een goed begrip hebben van de bewerkingen. Het strookmodel is uitermate geschikt om leerlingen die hiermee problemen hebben te helpen. 5 53= × Figuur 1.16  Een vleksom stimuleert rekenen via de inverse eigenschap

| 33

1  Hele getallen

Figuur 1.17  Een gevaar van (indirect) compenseren: Renate en Wesley maken de opgave 35 − 18. tip 15 Een context voor transformeren bij optellen Tijdens een circusvoorstelling zitten er negentien kinderen rechts van de in gang op de tribune en dertien kinderen zitten aan de linkerkant. Als je nu wilt weten hoeveel kinderen er samen aanwezig zijn kun je 19 + 13 uitrekenen. Je kunt echter ook één kind zogenaamd van tribune laten wisselen, waardoor de opgave 20 + 12 wordt. Die opgave is veel gemakkelijker uit te rekenen. 68 + 198 = (68 − 2) + (198 + 2) = 66 + 200. Voor optellen geldt dat als bij de ene term iets opgeteld wordt, dit meteen van de andere term afgehaald moet worden. In een strookmodel: 19 + 13 = 32.

Figuur 1.18  Het totaal blijft evenveel

Als er bij blauw 1 bij gaat, dan moet deze er bij wit af, omdat anders de uitkomst (hoeveelheid blokjes) niet hetzelfde blijft. Je ziet hieruit 19 + 13 = 20 + 12.

34 |

Made with FlippingBook - professional solution for displaying marketing and sales documents online