Conocimientos técnidos IGB

Conocimientos técnicos para instalador de gas categoría B

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Índice general

Materias comunes Tema 1. Matemáticas .............................................................................................................................................................................................................................7 1.1 Números enteros...................................................................................................................................................................................................................................8 1.2 Operaciones básicas con números enteros y decimales.............................................................................................................................................8 1.3 Números quebrados. Reducción de un número quebrado a un número decimal.................................................................................12 1.4 Números negativos..........................................................................................................................................................................................................................14 1.5 Proporcionalidades...........................................................................................................................................................................................................................17 1.6 Escalas.......................................................................................................................................................................................................................................................17 1.7 Regla de tres simple.........................................................................................................................................................................................................................18 1.8 Porcentajes.............................................................................................................................................................................................................................................19 1.9 Sistema internacional de unidades, SI..................................................................................................................................................................................19 1.10 Potencias..............................................................................................................................................................................................................................................22 1.11 Raíces cuadradas.............................................................................................................................................................................................................................23 1.12 Líneas......................................................................................................................................................................................................................................................23 1.13 Ángulos.................................................................................................................................................................................................................................................24 1.14 Concepto de pendiente.............................................................................................................................................................................................................25 1.15 Polígonos..............................................................................................................................................................................................................................................25 1.16 Circunferencia. Círculo.................................................................................................................................................................................................................28 1.17 Superficies regulares: cuadrado, rectángulo y triángulo........................................................................................................................................29 1.18 Superficies irregulares: triangulación..................................................................................................................................................................................29 1.19 Volúmenes...........................................................................................................................................................................................................................................29 1.20 Representación de gráficas.......................................................................................................................................................................................................30 Tema 2. Física ............................................................................................................................................................................................................................................ 33 2.1 La materia...............................................................................................................................................................................................................................................34 2.2 Estados de la materia.......................................................................................................................................................................................................................35 2.3 Fuerza, masa, aceleración y peso.............................................................................................................................................................................................37 2.4 Masa volumétrica y densidad relativa...................................................................................................................................................................................38 2.5 Presión......................................................................................................................................................................................................................................................39 2.6 Energía, potencia y rendimiento..............................................................................................................................................................................................45 2.7 El calor.......................................................................................................................................................................................................................................................46 2.8 Temperatura..........................................................................................................................................................................................................................................48 2.9 Efecto del calor....................................................................................................................................................................................................................................49 2.10 Transmisión del calor....................................................................................................................................................................................................................51 2.11 Caudal....................................................................................................................................................................................................................................................53 2.12 Efecto Venturi.....................................................................................................................................................................................................................................54 2.13 Relaciones entre la presión, volumen y temperatura en los gases..................................................................................................................55 2.14 Tensión de vapor (botellas de GLP)......................................................................................................................................................................................57

2.15 Nociones de electricidad............................................................................................................................................................................................................58 2.16 Cuerpos aislantes y conductores..........................................................................................................................................................................................60 2.17 Ley de Ohm. Efecto Joule..........................................................................................................................................................................................................61 2.18 Corrientes de fuga..........................................................................................................................................................................................................................64 2.19 Corrientes galvánicas....................................................................................................................................................................................................................64 2.20 Bases y funcionamiento de la protección catódica (electrodos)......................................................................................................................65 Tema 3. Química ..................................................................................................................................................................................................................................... 69 3.1 Elementos y compuestos químicos presentes en los gases combustibles...................................................................................................70 3.2 El aire como mezcla..........................................................................................................................................................................................................................72 3.3 Gases combustibles comerciales.............................................................................................................................................................................................72 3.4 Combustión: combustible y comburente..........................................................................................................................................................................75 3.5 Gases inertes. Inertización............................................................................................................................................................................................................79 Conocimientos técnicos Tema 4. Materiales, uniones y accesorios ........................................................................................................................................................................ 81 4.1 Tuberías....................................................................................................................................................................................................................................................82 4.2 Uniones....................................................................................................................................................................................................................................................88 4.3 Accesorios...............................................................................................................................................................................................................................................97 Tema 5. Instalaciones de tuberías, pruebas y ensayos ...................................................................................................................................... 103 5.1 Diseño y construcción.................................................................................................................................................................................................................104 5.2 Modalidades de ubicación de tuberías.............................................................................................................................................................................108 5.3 Pruebas y ensayos...........................................................................................................................................................................................................................120 Tema 6. Instalaciones de contadores ................................................................................................................................................................................ 123 6.1 Contadores de gas.........................................................................................................................................................................................................................124 6.2 Instalación de contadores en un edificio de nueva construcción...................................................................................................................129 6.3 Instalación de los contadores en un edificio ya construido.................................................................................................................................134 6.4 Ventilación de recintos...............................................................................................................................................................................................................136 Tema 7. Ventilación de locales ................................................................................................................................................................................................ 139 7.1 Evacuación de los gases quemados...................................................................................................................................................................................140 7.2 Características del conducto de evacuación al que se incorpora un extractor mecánico...............................................................145 7.3 Salida directa de productos de combustión de aparatos de tiro forzado o estancos al exterior o al patio de ventilación ..........................................................................................................................................................................................................................................147 7.4 Entrada de aire para la combustión....................................................................................................................................................................................156 7.5 Requisitos de los locales donde se ubican aparatos a gas....................................................................................................................................158 Tema 8. Quemadores ...................................................................................................................................................................................................................... 167 8.1 Quemadores atmosféricos........................................................................................................................................................................................................168

8.2 Funcionamiento del quemador atmosférico................................................................................................................................................................170

8.3 Quemadores automáticos con aire presurizado.........................................................................................................................................................171

Tema 9. Dispositivos de protección y seguridad de aparatos ..................................................................................................................... 181 9.1 Definición.............................................................................................................................................................................................................................................182 9.2 Tipos dispositivos............................................................................................................................................................................................................................182 9.3 Órganos detectores sensibles a la luz................................................................................................................................................................................188 9.4 Órganos detectores utilizando la conductividad de la llama..............................................................................................................................189 Tema 10. Dispositivos de encendido ................................................................................................................................................................................ 191 10.1 Efecto piezoeléctrico.................................................................................................................................................................................................................192 10.2 Chispa eléctrica.............................................................................................................................................................................................................................193 10.3 Resistencia eléctrica....................................................................................................................................................................................................................194 10.4 Encendido programado...........................................................................................................................................................................................................196 Tema 11. Aparatos de gas ........................................................................................................................................................................................................... 197 11.1 Aparatos domésticos de cocción: tipos y características....................................................................................................................................198 11.2 Aparatos domésticos para la producción de agua caliente sanitaria (ACS)............................................................................................210 11.3 Aparatos domésticos de calefacción fijos....................................................................................................................................................................212 11.4 Estufas móviles..............................................................................................................................................................................................................................217 11.5 Aparatos populares.....................................................................................................................................................................................................................218 11.6 Presiones de funcionamiento de los aparatos de utilización doméstica..................................................................................................218 1.7 Comprobación del funcionamiento de los aparatos...............................................................................................................................................219 Tema 12. Adaptación de aparatos a otros tipos de gas ..................................................................................................................................... 221 12.1 Requisitos necesarios.....................................................................................................................................................................................................222 12.2 Operaciones fundamentales de los aparatos de cocción...........................................................................................................................222 12.3 Operaciones fundamentales para la adaptación de aparatos de producción de agua caliente y calefacción...............225 12.4 Adaptación de aparatos industriales.....................................................................................................................................................................228 12.5 Comprobación del funcionamiento de los aparatos tras su adaptación............................................................................................229 Tema 13. Accesorios de las instalaciones de gas ..................................................................................................................................................... 233 13.1 Llaves......................................................................................................................................................................................................................................234 13.2 Reguladores: misión y tipos........................................................................................................................................................................................236 13.3 Contadores..........................................................................................................................................................................................................................245 13.4 Deflector...............................................................................................................................................................................................................................247 13.5 Limitadores de presión-caudal.................................................................................................................................................................................250 13.6 Inversores.............................................................................................................................................................................................................................252 13.7 Válvulas de solenoide.....................................................................................................................................................................................................252 13.8 Juntas dieléctricas............................................................................................................................................................................................................253 13.9 Dispositivo de recogida de condensados...........................................................................................................................................................254 13.10 Racores de botella.........................................................................................................................................................................................................254 13.11 Tubo flexible reforzado (liras)..................................................................................................................................................................................254 13.12 Indicadores visuales.....................................................................................................................................................................................................255 13.13 Válvulas de exceso de flujo.......................................................................................................................................................................................255

13.14 Válvulas de retención...................................................................................................................................................................................................255 3.15 Detectores de fugas........................................................................................................................................................................................................256

Tema 14. Botella de GLP de contenido inferior a 15 kg ..................................................................................................................................... 259 14.1 Descripción y tipos..........................................................................................................................................................................................................260 14.2 Funcionamiento...............................................................................................................................................................................................................261 14.3 Válvulas y reguladores...................................................................................................................................................................................................262 14.4 Instalación............................................................................................................................................................................................................................265 14.5 Cálculo de las instalaciones........................................................................................................................................................................................266 14.6 Síntesis para la resolución de problemas de gas (GLP).................................................................................................................................269 14.7 Instalaciones de GLP con envases de capacidad unitaria no superior a 15 kg................................................................................273 Tema 15. Esquema de instalaciones .................................................................................................................................................................................. 277 15.1 Croquización .....................................................................................................................................................................................................................278 15.2 Uso de tablas y gráficas.................................................................................................................................................................................................278 15.3 Simbología..........................................................................................................................................................................................................................279 15.4 Planos y esquemas de instalaciones......................................................................................................................................................................286 Tema 16. Cálculo de instalaciones receptoras ........................................................................................................................................................... 293 16.1 Datos necesarios..............................................................................................................................................................................................................294 16.2 Consumo del gas.............................................................................................................................................................................................................321 16.3 Trazado de conducción................................................................................................................................................................................................325 16.4 Anexos...................................................................................................................................................................................................................................328 16.5 Ejemplos de cálculos....................................................................................................................................................................................................337 Tema 17. Depósitos móviles de glp superiores a 15 kg ..................................................................................................................................... 351 17.1 Tipos y descripción..........................................................................................................................................................................................................352 17.2 Funcionamiento...............................................................................................................................................................................................................353 17.3 Instalación (normativa).............................................................................................................................................................................................................363 Tema 18. Seguridad y emergencias .................................................................................................................................................................................... 371 18.1 Incendios, deflagraciones y detonaciones..........................................................................................................................................................372 18.2 Toxicidad..............................................................................................................................................................................................................................384 18.3 Recomendaciones generales..................................................................................................................................................................................387

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Matemáticas

1.1 Números enteros 1.2 Operaciones básicas con números enteros y decimales 1.3 Números quebrados. Reducción de un número quebrado a un número decimal 1.4 Números negativos: operaciones 1.5 Proporcionalidades 1.6 Escalas 1.7 Regla de tres simple 1.8 Porcentajes 1.9 Sistema Internacional 1.10 Potencias 1.11 Raíces cuadradas 1.12 Líneas 1.13 Ángulos 1.14 Concepto de pendiente 1.15 Polígonos 1.16 Circunferencia. Círculo 1.17 Super cies regulares: cuadrado, rectángulo y triángulo 1.18 Super cies irregulares: triangulación 1.19 Volúmenes 1.20 Representación de grá cas

1.1 Números enteros y decimales Los números se definen como un conjunto de unidades, y se dividen en enteros y decimales. Son números enteros los que expresan un cierto número de unidades completas. Los números enteros pueden ser: positivos y negativos. El conjunto { …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…} se llama conjunto de números enteros. Así el 1, 2, 3… reciben el nombre de números enteros positivos (números naturales) y el -1, -2, -3… reciben el nombre de números enteros negativos. Son números decimales los que expresan parte o partes de la unidad. Ejemplo. N.º enteros: 3 kilómetros, 3 manzanas, 7 tubos, etc. N.º decimales: 1,23, 23,65 1.2 Operaciones básicas con números enteros y decimales 1.2.1 Números naturales Suma Los términos de una suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, se denomina suma. Es la operación que tiene por objeto reunir en un solo número las unidades de otros. La suma se representa con el signo + (más). a + b = c Las propiedades de la suma son: ▪ ▪ Conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma: a + b = b + a ▪ ▪ Asociativa. El modo de agrupar los sumandos no altera el resultado: (a + b) + c = a + (b + c). ▪ ▪ Elemento neutro. El 0 es el elemento neutro de la suma, ya que todo número que se sume con él da el mismo número: a + 0 = a Ejemplo. Suma: 5 + 10 = 15 Propiedad conmutativa: 5 + 4 = 4 + 5 Propiedad asociativa: (2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7) → 5 + 7 = 2 + 10 = 12 Elemento neutro: 5 - 2 ≠ 2 - 5

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Matemáticas

Resta o diferencia Partiendo de dos números naturales a y b, minuendo y sustraendo, se halla otro número, c, llamado diferencia, que si lo sumamos al sustraendo nos dará el minuendo. La resta se representa por el signo (-). a – b = c ⇔ b + c = a

Ejemplo. 6 - 4 = 2 ⇔ 4 + 2 = 6

Propiedad resta: ▪ ▪ No es conmutativa. a - b ≠ b - A

Ejemplo. 5 - 2 ≠ 2 - 5

Multiplicación Multiplicar dos números naturales es sumar uno de los factores, a o b, consigo mismo tantas veces como indica el otro factor, a o b. El resultado de la operación se llama producto, c. Se representa con una cruz en forma de aspa (x) o también por un punto (•). a • b = c a # b = c Propiedades de la multiplicación de números naturales: ▪ ▪ Conmutativa. El orden de factores no altera el producto: a # b = b # a ▪ ▪ Asociativa. El modo de agrupar los factores no altera el resultado: (a # b) # c = a # (b # c) ▪ ▪ Distributiva. Multiplicar un número natural por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos: a # (b + c) = a # b + a # c # ▪ ▪ Sacar factor común. Contrario de la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, se puede transformar la suma en multiplicación sacando dicho factor: a # b + a # c = a # (b + c) ▪ ▪ Elemento neutro. El 1 es el elemento neutro de la multiplicación de números naturales, ya que todo número multiplicado por él da el mismo número: a # 1 = a

Ejemplo. Propiedad conmutativa: 2 # 3 = 3 # 2 Propiedad asociativa: (2 # 3) # 3 = 2 # (3 # 3) → 6 # 3 = 2 # 9 = 18 Propiedad distributiva: (2 + 3) # 5 = 2 # 5 + 3 # 5 → 5 # 5 = 10 + 15 = 25 Sacar factor común: 4 # 2 + 4 # 5 = 4 # (2 + 5) → 8 + 20 = 4 # 7 = 28 Elemento neutro: 5 # 1 = 5

9

División Se define como la operación inversa a la multiplicación. Diremos que un número natural, a, divisor, divide a otro b, dividendo, dando un resultado, c, denominado cociente. Se representa con (:) o también por (/). / b a c a b c b a c | = = = Las divisiones pueden ser exactas (cuando el resto es cero) y enteras (cuando el resto es diferente de cero).

30 0

5 6

Ejemplo. División exacta: b a c a c b & | # = =

30 5 6 5 6 30 & | # = =

21 1

5 4

División entera: b a c a r c b & | # = + =

5 4 1 21 # + =

Propiedades de la división de números naturales: ▪ ▪ No es conmutativa. b : a ≠ a : b ▪ ▪ Cero dividido entre cualquier número da cero. 0 : a = 0 ▪ ▪ No se puede dividir por 0.

Ejemplo. No es conmutativa: 9/5 ≠ 5/9 Cero dividido: 0/8 = 0 Operaciones matemáticas con letras Sea la igualdad con tres magnitudes: A = B + C Conociendo dos de ellas, se puede calcular la tercera: ▪ ▪ La magnitud que está sumando, pasa restando al otro lado del signo igual. ▪ ▪ La magnitud que está restando, pasa sumando al otro lado del signo igual. A = B + C A - C = B A – B = C Sea la igualdad: A = B # C ▪ ▪ La magnitud que está multiplicando, pasa dividiendo al otro lado de la igualdad; si está dividiendo, pasa multiplicando al otro lado del signo igual. A = B # C B = A / C C = A / B Sea la igualdad:

▪ ▪ Despejando A es A + B = C # D; A = C # D - B ▪ ▪ Despejando B es A + B = C # D; B = C # D - A ▪ ▪ Despejando C es A + B = C # D; C D A B = +

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Matemáticas

1.2.2 Números decimales Suma La adición con números decimales se hace de la misma forma que los números enteros, cuidando de sumar juntas las unidades del mismo orden.

Ejemplo. Sumar 23,98 y 3,2 + 10 = 15 , , , 23 98 3 20 27 18 +

Se observa que para acondicionar el número decimal se ha añadido un 0 al número 3,2.

Resta Se realiza igual que los números enteros, cuidando de restar entre sí las unidades del mismo orden. Cuando el minuendo y el sustraendo no tienen igual número de cifras decimales, a la derecha del que menos cifras tenga, acondicionamos tantos ceros como sean necesarios.

Ejemplo. 23,984 - 3,23 = 23,984 - 3,230 = 20,754

Multiplicación Para multiplicar dos números decimales se hace la operación igual que con los enteros y se coloca la coma, de manera que la parte decimal del resultado contenga un número de cifras igual a la obtenida por la suma de las contenidas en el multiplicando y el multiplicador.

Ejemplo. 25,3 # 3,23 = 80,96

División Para la división de números decimales tendremos en cuenta el lugar de las comas y, por tanto, el número de cifras decimales en el dividendo y en el divisor; se pueden dar tres casos: ▪ ▪ Igual número de decimales en el dividendo y en el divisor. Para dividirlos podemos eliminar la coma, tachándola y convirtiendo los números decimales en enteros. ▪ ▪ Mayor número de decimales en el dividendo que en el divisor. Para dividirlos, añadimos al divisor tantos ceros a su derecha como sean precisos para igualar el número de cifras decimales que tiene el dividendo, eliminamos también la coma. ▪ ▪ Menor número de decimales en el dividendo que en el divisor. Añadiremos tantos ceros a la derecha del dividendo como sean precisos para igualar el número de cifras decimales que tiene el divisor, eliminamos la coma.

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Ejemplo. 12,5/2,5 = 125/25 = 5 2,25 / 1,5 = 225 / 150 = 1,5 2,2 / 1,55 = 220 / 155 = 1,41

1.3 Números quebrados. Reducción de un número quebrado a un número decimal Llamamos números fraccionarios o quebrados al cociente indicado de dos números enteros, escritos uno encima del otro y separados por una raya horizontal:

á b a ser el numerador ser el á "

denominador

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 1. Número primo. Aquel que solo se puede dividir por sí mismo y la unidad. 2. Número compuesto. Aquel que tiene otros divisores que sí mismo y la unidad. 3. Descomposición factorial. Consiste en calcular los factores primos.

#

-

*

, 5 1 5 =

5

divisores de

&

#

-

. ú N mero primo 1

, 5 1 23 =

. ú divisores de N mero compuesto divisores de 23 12 & & :

#

-

Ejemplo.

, , , , , 12 1 2 3 4 6 12 =

2

*

/ 48 482 24 242 12 122 6 62 3 48 2 2 2 2 3 2 3 4 & & & & # # # # # = = = = = = / / /

3

ó Descomposici n factorial :

.

Máximo común divisor Es el mayor de los divisores comunes a varios números. Para el cálculo del máximo común divisor, se calculan los factores de todos los números y se eligen los factores comunes con menor exponente.

Ejemplo. Máximo común divisor (mcd). Calcula el mcd de 6.936 y de 1.200 6.936 = 2 3 # 3 # 17 2 → 1.200 = 2 4 # 3 # 5 2 → mcd = 2 3 # 3 = 24 Mínimo común múltiplo

Es el menor de los múltiplos comunes a varios números. Para el cálculo del mínimo común múltiplo, se calculan los factores de los números y se eligen los comunes y los no comunes con mayor exponente.

Ejemplo. Mínimo común múltiplo (mcm). Calcula el mcm de 6.936 y de 1.200 6.936 = 2 3 # 3 # 17 2 → 1.200 = 2 4 # 3 # 5 2 → mcm = 2 4 # 3 # 5 2 # 17 2 = 346.800

12

Matemáticas

Sumas y restas de fracciones Para poder sumar o restar fracciones deben tener el mismo denominador. Se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador. Si no tienen denominador común, se calculará.

Ejemplo. 5 2

5 3

5 4

5 9

+ + =

Cálculo de denominador común Para calcular el denominador común de varias fracciones se seguirán los siguientes pasos: 1. Calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores, que será el nuevo denominador. 2. Para calcular los nuevos numeradores, se dividirá el mcm entre el denominador anterior y el resultado se multiplica por el numerador anterior.

Ejemplo. 12 4 12 2 3 10 2 5 15 3 5 2 # # # = = =

10 2

15 3

+ +

15 3 X WW WW WW WW W V

: 60 60 12 4 ^ h

# #

12 4

60 5 4 = =

60 20

2

: ejemplo de c lculo á

mcm

2 3 5 60 # # =

&

=

12 4

10 2

60 20

60 12

60 12

60 44

+ + = + + =

Multiplicar fracciones Para calcular los nuevos valores, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

Ejemplo. 2 3 # # = = Se multiplican los numeradores 3 # 1 y se multiplican los denominadores 2 # 4. 4 1 2 4 3 1 8 3 #

Dividir fracciones El numerador se calcula multiplicando el primer numerador por el segundo denominador. El denominador se calcula multiplicando el primer denominador por el segundo numerador. = = Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción 7 # 3 y ya tenemos el nuevo numerador 21; se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción 5 # 2 y ya tenemos el nuevo denominador. Ejemplo. 5 7 3 2 5 2 7 3 10 21 | # #

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Reglas básicas de las fracciones Al multiplicar o dividir el numerador y denominador por el mismo número (distinto de cero) no cambia el valor de la fracción. Las fracciones grandes se pueden reducir a otras más simples.

, , 0 07 0 04

7 4

Ejemplo.

Hemos multiplicado por 100 el numerador y el denominador; la fracción sigue siendo la misma. Hemos dividido por 100 el numerador y el denominador; la fracción sigue siendo la misma.

=

900 700

9 7

=

▪ ▪ Reducción de un número fraccionario a decimal. Se divide el numerador entre el denominador.

Ejemplo. 3/5 ⇒ 3 dividido entre 5 es igual a 0,6 .

▪ ▪ Reducción de un número decimal a fracción. Se escribe el número decimal sin la coma y de denominador la unidad (1) seguida de tantos ceros como cifras decimales tenía el número decimal.

Ejemplo. 2,52 100 252 = 1.4 Números negativos

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor. Por ejemplo, la necesidad de representar el dinero adeudado, temperaturas bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc. Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros. El conjunto de los números enteros está formado por: {…-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…} Representación de los números enteros 1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero. 2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3… 3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: -1, -2, -3…

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Matemáticas

0

2 0 1 3

-3 -2

-1

0

Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo y lo escribiremos entre barras verticales.

Ejemplo. |-3| = 3

|3| = 3

Suma de números enteros Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

Ejemplo. 2 + 5 = 7

(-2) + (-5) = -7

Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplo. - 2 + 5 = 3

2 + (-5) = -3

Propiedades de la suma de números enteros ▪ ▪ Interna. El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero. ▪ ▪ Asociativa. El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado: (a + b) + c = a + (b + c) ▪ ▪ Conmutativa. El orden de los sumandos no varía la suma: a + b = b + a ▪ ▪ Elemento neutro. El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número: a + 0 = a ▪ ▪ Elemento opuesto. Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero: a + (-a) = 0 El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número: -(-5) = 5 Ejemplo. Propiedad asociativa: (2 + 3) + (-5) = 2 + [3 + (-5)] ⇒ 5 - 5 = 2 + (-2) ⇒ 0 = 0 Propiedad conmutativa: 2 + (-5) = (-5) + 2 ⇒ -3 = -3

Elemento neutro: (-5) + 0 = -5 Elemento opuesto: 5 + (-5) = 0

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Resta de números enteros La resta de números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo. a - b = a + (-b)

Ejemplo. 7 - 5 = 2

7 - (-5) = 7 + 5 = 12

No es conmutativa: a - b ≠ b - a

Ejemplo. 5 - 2 ≠ 2 - 5

Multiplicación de números enteros La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. ! REGLA DE LOS SIGNOS

+ por + = + → 2 # 5 = 10 + por – = – → 2 # (- 5) = -10 – por – = + → (-2) # (- 5) = 10 – por + = – → (-2) # 5 = -10

Propiedades de la multiplicación de números enteros ▪ ▪ Asociativa. El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se cumple que: (a # b) # c = a # (b # c) ▪ ▪ Conmutativa. El orden de los factores no varía el producto: a # b = b # a ▪ ▪ Elemento neutro. El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número: a # 1 = a ▪ ▪ Distributiva. El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos: a # (b + c) = a # b + a # c ▪ ▪ Sacar factor común. Es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor: a # b + a # c = a # (b + c) Ejemplo. Propiedad asociativa: (2 # 3) # (-5) = 2 # [3 # (-5)] ⇒ 6 # (-5) = 2 # (-15) ⇒ -30 = -30 Propiedad conmutativa: 2 # (-5) = (-5) # 2 ⇒ -10 = -10 Elemento neutro: (-5) # 1 = -5

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Matemáticas

Propiedad distributiva: (-2) # (3 + 5) = (-2) # 3 + (-2) # 5 ⇒ (-2) # 8 = (-6) + (-10) ⇒ -16 = -16 Factor común: (-2) # 3 + (-2) # 5 = (-2) # (3 + 5) División La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos. ! REGLA DE LOS SIGNOS

+ entre + = + → 12 / 6 = 2 + entre – = – → 12 / (- 6) = -2 – entre – = + → (-12) / (- 6) = 2 – entre + = – → (-12) / 6 = -2

Propiedades de la división de números enteros No es conmutativo: a / b ≠ b / a

Ejemplo. 6 / (-2) ≠ (-2) / 6

1.5 Proporcionalidades Dos cantidades son proporcionales si guardan entre sí una relación constante. Por ejemplo, el espacio recorrido por un automóvil es proporcional a la velocidad en un tiempo dado; en cambio, la estatura de un hombre no es proporcional a la edad. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al variar la primera en un sentido varía la segunda en el mismo sentido. Por ejemplo, el salario es directamente proporcional al tiempo trabajado (a mayor tiempo, mayor salario). Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al variar la primera en un sentido, varía la segunda en sentido contrario. Por ejemplo, el tiempo de duración de una obra es inversamente proporcional al número de horas trabajadas (a mayor número de horas, menor duración de la obra). 1.6 Escalas Escala es la relación matemática que hay entre unas dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o mapa. Escala = dibujo / realidad

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Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se trata de una escala de ampliación, y será de reducción en caso contrario. La escala 1:1 corresponde a un objeto dibujado a su tamaño real (escala natural). Aunque, en teoría, sea posible aplicar cualquier valor de escala, en la práctica se recomienda el uso de ciertos valores normalizados con objeto de facilitar la lectura de dimensiones mediante el uso de reglas o escalímetros. Estos valores son: ▪ ▪ Ampliación: 2:1, 5:1, 10:1, 20:1, 50:1 ▪ ▪ Reducción: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50 No obstante, en casos especiales (particularmente en construcción) se emplean ciertas escalas intermedias como: 1:25, 1:30, 1:40, etc. Ejemplo. Sobre una carta marina a E 1:50.000 se mide una distancia de 7,5 cm entre dos islotes, ¿qué distancia real hay entre ambos? Se resuelve con una sencilla regla de tres: si 1 cm del dibujo son 50.000 cm reales 7,5 cm del dibujo serán X cm reales X = 7,5 # 50.000 / 1 = 375.000 cm, que equivalen a 3,75 km 1.7 Regla de tres simple Es una forma práctica de calcular uno de los términos o números de una proporcionalidad cuando se conocen los otros tres. Se pueden presentar dos casos: ▪ ▪ Regla de tres directa. Diremos que es directa cuando las magnitudes son directamente proporcionales. Ejemplo. Si 3 operarios instalan en una hora 12 m de tuberías, ¿cuántos metros de tuberías instalarán 6 operarios? Se observa que la regla de tres es directa, ya que a mayor número de operarios más metros de tubos se instalarán. í Si operarios m de tuber as operarios X X X m 3 12 6 6 3 12 3 12 6 24 " " " # = = = ▪ ▪ Regla de tres inversa. Diremos que la regla de tres es inversa cuando las magnitudes sean inversamente proporcionales. Ejemplo. Si 3 operarios invierten en un trabajo determinado 2 horas, ¿cuánto tiempo invertirán 6 operarios? Se observa que la regla de tres es inversa, a mayor número de operarios, menos tiempo invertido. Si operarios horas operarios X X X h 3 1 6 1 " " " # = = =

6 3

6 3 2

2

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